|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Massa en volume berekenen
Beste
We hebben een random sample $X_1$, $\ldots$, $X_{n}$ van een normale distributie met verwachte waarde 1, en variantie $\sigma^{2} > 0$. Ook is gegeven dat $E[(X_{i} - 1)^{4}] = 3\sigma^{4}$. We bekijken de null hypothese $H_{0}: \sigma = 2$.
Voor grote $n$, wordt de gegeven null hypothese afgewezen als $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}\lt a_{n}\Phi^{-1}(\alpha)+b_{n}$, waarbij $\Phi^{-1}$ de inverse van de standaard normale distributie functie is. Bepaal $ a_{n}$ en $ b_{n}$.
Wat voor mij duidelijk is, is dat de CLT gebruikt moet worden. Maar om hier te komen, moet ik dus de verwachte waarde en de standaard deviatie berekenen van $\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - 1)^{2}$ (onder $H_{0}$). Want dan geldt $Z \sim N(0,1)$ en krijg ik het omgezet naar de gevraagde vorm. Ik heb wat gespeeld met het feit dat $E[X^{2}] = Var(X) + [E \overline x ]^{2}$ maar dit mocht ook niet baten.
Volgens het antwoord moet ik uitkomen op $a_{n} = 4\sqrt{2n}$ en $b_{n} = 4n$. Ik hoop dat het zo een beetje duidelijk is en waar ik tegenaanloop. Mochten jullie nog wat cruciaals missen laat maar weten. Heel erg bedankt alvast!
Antwoord
Het gaat dus om de verwachting en variantie van $(X-1)^2$ als $X$ zelf $N(1,\sigma^2)$ verdeeld is.
De verwachting van $(X-1)^2$ is dan de variantie van $X$ zelf.
De variantie van $(X-1)^2$ krijg je uit de formule waar je mee "gespeeld" hebt, maar dan wel toegepast op $(X-1)^2$:
$$\mathrm{Var}\bigl((X-1)^2\bigr)=E[(X-1)^4]-E[(X-1)^2]^2
$$en beide termen rechts heb je al.
Daarna: de verwachting van de som $\sum_{i=1}^n(X_i-1)^2$ is de som van de verwachtingen, en, aangenomen dat de $X_i$ onafhankelijk zijn: de variantie van de som is de som van de varianties.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
